Cédric Villani : “Les mathématiques caricaturent le monde autant qu’elles le dévoilent”

Avec les États-Unis, la France est le pays le plus primé du monde en mathématiques. Sommes-nous une civilisation mathématique ?

Cédric Villani : Les sciences mathématiques sont trop universelles pour être accaparées par un pays ou une culture, trop plurielles pour se laisser ranger dans des cases bien définies. Hugo Duminil-Copin fait de la physique statistique avec un formalisme probabiliste, il s’intéresse notamment au magnétisme. C’est très particulier et cependant représentatif de bien des phénomènes ! Les probabilités sont un domaine mathématique parmi bien d’autres. D’autres chercheurs s’expriment en algèbre, en géométrie, en analyse, en logique… Chacun de ces champs a des sous-champs qui sont en évolution constante, et les motivations sont diverses. Comme en philosophie ou en peinture, il existe de très nombreuses traditions historiquement et culturellement déterminées. Comme il y avait l’école du Caravage au XVII^e siècle, aujourd’hui, nous comptons l’école de probabilité parisienne, connue pour avoir développé telle théorie ou tel outil… Parmi les quatre lauréats de cette année, Maryna Viazovska est spécialisée dans l’analyse harmonique, en lien avec la géométrie des réseaux ; elle a résolu le problème de l’empilement des sphères en dimensions huit et vingt-quatre. June Huh, lui, s’exprime en géométrie algébrique, où tout découle des courbes et des équations algébriques. Le quatrième lauréat, James Maynard, a réussi à repousser un peu les bornes du connu dans la répartition des nombres premiers, qui reste un grand mystère mathématique. Dans tous ces langages, ces visées, ces cultures et ces pays, les mathématiciens s’inscrivent pourtant dans la même histoire séculaire. À la suite de Leibniz, Newton ou Fermat, ils se demandent quelles sont les lois mathématiques qui gouvernent la nature, les nombres et les formes.

“Le phénomène de l’eau qui bout, familier à un enfant de dix ans, reste un grand problème pour la communauté mathématique” Cédric Villani

Vous avez travaillé sur la thermodynamique. Duminil-Copin a planché sur la percolation. Qu’est-ce qui vous différencie des physiciens ?

Il y a le monde physique, exploré par des expériences, où les modèles cherchent à prédire les comportements réels. Il y a le monde mathématique, où les règles des équations, de la logique, permettent de travailler dans le monde abstrait du modèle, un monde où l’on fait comme si les expériences n’existaient pas. Les frontières sont poreuses : si des mathématiciens utilisent parfois les expériences pour gagner de l’intuition mathématique, les physiciens utilisent très souvent des outils mathématiques, avec plus ou moins de recherche de rigueur. Qu’on l’étudie avec l’intuition physique ou avec des outils mathématiques sophistiqués, le concept central est celui du modèle : un modèle réduit, une épure du monde faite de quelques règles de base et d’axiomes, destinée à se focaliser sur un très petit aspect de la réalité. En l’honneur de Duminil-Copin, prenons l’exemple d’un problème de changement de phase. Selon la température et la pression, l’eau est solide, liquide ou gazeuse : on le sait par expérience, et on étudie en physique les paramètres de ce changement d’état. Maintenant, plaçons-nous du point de vue d’un mathématicien qui veut comprendre pourquoi ce changement d’état a lieu. On oublie la physique, on oublie que ces différents états existent, on veut lire ce phénomène de changement d’état juste dans les principes fondamentaux. On part de cette épure : un ensemble d’unités qu’on appelle molécules, dont les mouvements sont décrits par des équations dépendant de variables telles que la quantité moyenne de molécules dans un volume donné, qui est fonction de la température. Alors on se demande : en augmentant la température du système, comment évoluent les propriétés macroscopiques de notre ensemble de particules ? En d’autres termes, sans connaissance a priori autres que les lois microscopiques de la physique, est-ce qu’on arrive à prévoir que l’eau change de nature à une certaine température ? Pas tout à fait. Si vous étiez un être microscopique, baignant au milieu des molécules, vous seriez bien en peine de savoir si vous évoluez dans du liquide ou du gaz : après tout ce sont les mêmes molécules. Mais pour un être macroscopique, les propriétés des interactions avec ce fluide sont très différentes. On pourrait naïvement penser qu’il y a une continuité d’états au niveau macroscopique dépendant de la température : du très gazeux, du faiblement gazeux, du semi-liquide, etc. Mais ce n’est pas ce que l’on observe. C’est binaire : pour une variation progressive de paramètres, on change brutalement d’état. Ainsi, le phénomène de l’eau qui bout, familier à un enfant de dix ans, reste-t-il un grand problème pour la communauté mathématique.