La grande question
Les objets mathématiques sont-ils réels ?
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Le cercle parfait des mathématiciens est-il réel ? A-t-il une existence indépendante des cercles empiriques qui n’en sont que d’imparfaites images ? Est-il une invention que l’esprit humain abstrait à partir du sensible, ou bien une réalité que la pensée découvre par une intuition purement intellectuelle ? Ces questions tiraillent les philosophes depuis l’origine même des mathématiques, et n’ont jamais trouvé de réponse définitive. « C'est un vaste et long débat, un débat indécidable au sens où l’on ne peut jamais trancher en faveur de l'un ou de l'autre avec sûreté, cela relève de l'intime conviction », affirmait le mathématicien Cédric Villani au cours d’un débat avec le philosophe Michel Serres. Un débat entre idéalisme et réalisme qui remonte, en fait, à l’opposition entre Platon et Aristote.
Platon : les objets mathématiques sont des réalités objectives
Platon incarne, de manière particulièrement tranchée, une position objectiviste : à ses yeux, les objets mathématiques sont réels. Ils existent indépendamment de l’esprit qui les conçoit, et indépendamment du sensible. C’est même tout l’inverse : les idées mathématiques nous préexistent et préexistent au monde empirique, qu’elles mettent en forme. L’Idée (avec un grand « I ») du cercle n’est pas, en ce sens, une invention de l’esprit humain, mais une réalité intelligible, qui se donne à nous dans une pure appréhension intellectuelle, indépendante des cercles empiriques. Platon va d’ailleurs jusqu’à considérer que les Idées possèdent une consistance ontologique supérieure à celle des objets sensibles, parce qu’elles sont éternelles. Les cercles empiriques sont de pâles et précaires imitations de l’Idée de cercle.
De nombreux mathématiciens contemporains se rangent sous la bannière platonicienne. Explicitement influencé par Platon, et tenant d’un « réalisme simple », Kurt Gödel affirmait ainsi : « Je ne vois pas de raison d'avoir moins confiance dans ce type de perception, c'est-à-dire dans l'intuition mathématique, que dans la perception sensorielle » (cit. in : Barreau Hervé, L’Épistémologie, 2013) pour déterminer ce qui est réel et ce qui ne l’est pas. La défense contemporaine la plus acharnée du réalisme mathématique est sans doute due à Alexandre Grothendieck. Selon lui, « la structure d’une chose n’est nullement une chose que nous puissions “inventer”. Nous pouvons seulement la mettre à jour patiemment, humblement en faire connaissance, la “découvrir”. S’il y a inventivité dans ce travail, et s’il nous arrive de faire oeuvre de forgeron ou d’infatigable bâtisseur, ce n’est nullement pour “façonner”, ou pour “bâtir”, des “structures”. Celles-ci ne nous ont nullement attendus pour être, et pour être exactement ce qu’elles sont ! Mais c’est pour exprimer, le plus fidèlement que nous le pouvons, ces choses que nous sommes en train de découvrir et de sonder, et cette structure réticente à se livrer, que nous essayons à tâtons, et par un langage encore balbutiant peut-être, à cerner. » (Récoltes et semailles, 1985, consultable librement ici)
